ALGUNAS CONCLUSIONES

Secciones del Capítulo III:

• Introducción
• El factor paradojas y el logicismo
• La teoría de tipos
• Los axiomas no lógicos
• Problemas de las clases
• Problemas de la teoría de tipos
• Sobre el infinito y el continuo
• Propiedad lógica, conceptos empíricos y no empíricos
• Algunas conclusiones

• De Frege a Russell
• Primer llamado a una redefinición epistemología
• La inducción
• Logicismo y racionalismo
• Sobre la noción de lógica
• Apuntalamiento de un paradigma

Es necesario ir sacando conclusiones sobre las materializaciones particulares del logicismo.

De Frege a Russell

El problema de las paradojas fue el motor de la aproximación russelliana, así como había sido la fuente del agotamiento de la de Frege. Pero lo que en Frege no era evidente en Russell sí lo es: el fracaso del logicismo. No en términos técnicos, formales,  lógico-matemáticos, sino en términos filosóficos. La segunda etapa del logicismo pone de manifiesto los problemas teóricos de una reducción artificial y abstracta de la matemática. Pone de manifiesto que la relación entre matemática y lógica no era tan  estrecha como se suponía; que se trataba de dos cuerpos teóricos distintos, aunque con intersección no vacía. Pero, sobre todo, evidencia que la búsqueda del fundamento de las matemáticas no puede encontrarse en la lógica.

La vieja hipótesis que hacía de la lógica ese lugar tan “cercano al cielo” para ser susceptible de validar los conocimientos que le fuesen acercados, ya no sirve con la matemática. Algún día también desaparecerá aquella premisa que establece esa “cercanía” de la lógica. Para Frege como para Russell la lógica estaba colocada en un lugar muy especial.

Para Frege la aritmética también era el mundo donde las verdades son absolutas, “timeless”. Digo que es solamente un fracaso filosófico porque, con todo y axiomas no lógicos, con todo y las dificultades que los sistemas del Grundgesetze o Principia manifiestan, no se deja de alcanzar una coherencia (en la medida de lo teóricamente posible), rigor, y fundamentación de las principales partes de la matemática. Pero el principio logicista se hace pedazos en esta segunda etapa.

Primer llamado a una redefinición epistemología

Las paradojas de la teoría de conjuntos, los problemas derivados de las definiciones circulares impredicativas, no son (como creía Russell) problemas en la lógica de la fundamentación matemática. Que la teoría de clases que requiere la matemática engendre paradojas que a su vez exijan axiomas y principios “extraños”, no es problema ni de la lógica ni, opino, de la teoría de clases, sino de la naturaleza de las matemáticas. Y no me refiero a que las matemáticas sean una fuente de contradicciones. Los conceptos y entidades de la matemática deben estar plenamente  justificados en la teoría y, en general, en las condiciones de su relación con su objeto. La determinación de los mecanismos que permitan esto deben estar conectados a un tratamiento adecuado de la epistemología.

La producción matemática de los siglos XVIII y XIX (caracterizada por su extraordinaria abstracción) impuso a su vez la búsqueda de mayores recursos teóricos en esa dirección. Las paradojas, al mismo tiempo que expresan las consecuencias de una  reducción-abstracción artificial, pusieron de manifiesto dificultades en la introducción de entidades y conceptos matemáticos. Era, en ese sentido, una crítica al platonismo en matemáticas. Un llamado no a la aplicación mecánica de la navaja  de Occam, más sí a la “moderación” y a la redefinición de criterios.

En otro orden de cosas, el “factor paradojas” y la gama de consecuencias que trajo debe verse como un primer señalamiento de los límites de la formalización de los cuerpos teóricos.

La inducción

La teoría de tipos y los axiomas de existencia del logicismo dejan una sensación de artificialidad, que no corresponde ni con el proyecto logicista ni con la naturaleza de las matemáticas. Toda esta artificialidad que exige la reducción logicista  encuentra un punto de acumulación en la aritmética. Un principio fundamental de ésta es la inducción; éste apunta a aquello que define la esencia de la aritmética. No es extraño entonces que para integrar éste en el sistema logicista se requiera introducir  axiomas que no tienen nada que ver con la lógica.

La reducción de un cuerpo teórico a otro (entre los cuales su objeto epistemológico no es el mismo) sólo puede hacerse a partir de una abstracción que involucra nociones y principios diferentes. Toda abstracción arrastra consigo una secuela de implicaciones.  La extensión de esta secuela dependerá del tipo de abstracción. Cuando se trata de reducciones entre complejos teóricos dependerá del distanciamiento teorético entre ellos que, a su vez, está conectado a la diferenciación entre sus objetos epistémicos.

Logicismo y racionalismo

La visión logicista de la naturaleza de las matemáticas apuntala los aspectos formales y deductivos, axiomáticos, de las matemáticas. Parte de una clara distinción entre el conocimiento a priori y el a posteriori. La matemática no está conectada a la  realidad de una manera directa. En Russell el camino de su evolución conduce a hacer de las proposiciones matemáticas parte del lenguaje, y, en ese sentido, convenciones introducidas por los hombres. Para éste la matemática va a terminar siendo “verbal”. Esta aproximación que enfatiza lo sintáctico no es, sin embargo, uniforme en la conciencia de Russell toda su vida. De hecho, durante bastantes años mantiene Russell que la lógica se refiere a las cosas del mundo.

Sobre la noción de lógica

En 1918 Russell decía que la lógica es formal. Veamos lo que entendía por ello:

“La “forma” de una proposición es lo que  permanece invariable en ella, cuando cada parte constituyente de la proposición es reemplazada por otra” 84.

Entonces, añadía:

“Las constantes lógicas pueden ser definidas exactamente como definimos a las formas; de hecho son en esencia lo mismo” 85.

Las proposiciones lógicas entonces deben expresarse a través de “constantes lógicas” y “variables” 86. Pero, advierte Russell:

“...no se deduce de esto que, recíprocamente, todas las proposiciones que se puedan expresar de esta manera sean lógicas” 87.

La lógica entonces es formal por esta reducción a constantes lógicas; ahora bien, como esto no es suficiente debe recurrirse a nombrar una característica propia exclusiva a ésta. Russell dirá:

“Todas las proposiciones de la lógica tienen una característica que habitualmente se expresaba diciendo que eran analíticas, o que sus contradictorias eran contradictorias en sí mismas. No obstante, esta afirmación no es satisfactoria. La ley de contradicción no es más que una de las proposiciones lógicas; no tiene preeminencia especial y la prueba de que la contradictoria de una proposición es  contradictoria en sí misma equivale a exigir otros principios de deducción además del principio de contradicción. Sin embargo, la característica de las proposiciones lógicas que tratamos de encontrar es la que fue considerada y se intentó definir por los que dijeron que ella consistía en su deducibilidad del principio de contradicción.  Esta característica, que por el momento podemos calificar de tautología, no proviene, evidentemente, de la afirmación de que el número de individuos del universo es n, cualquiera que sea el número n” 88.

Esta característica que define a la lógica se nombra, pero no está claro aquí qué es exactamente, ¿qué es lo que hace que proposiciones expresadas de manera lógica no sean proposiciones lógicas? Para Russell el terreno de la definición de la matemática está en la noción clásica de “analiticidad” 89 (tal vez un poco reformulada). En 1918 confiesa que no ha encontrado una definición “que me satisfaga completamente” 90. El marco en el que se mueve Russell aquí tiende a llevarlo a las definiciones “linguísticas” de la lógica y la matemática; el sentido de la introducción de lo analítico eso parece indicar. Pero Russell, aún en esta fecha, no había dejado de considerar la lógica como supuestos a priori a propósito del mundo de las cosas. Gödel cita la Introducción a la Filosofía Matemática de Russell, en un frase  que fue suprimida en ediciones posteriores:

“La lógica trata del mundo real, lo mismo que la zoología, aunque de sus rasgos más abstractos y generales” 91.

Gödel no deja de comentar, sin embargo, que:

“Es verdad, sin embargo, que esta actitud ha ido disminuyendo gradualmente con el paso del tiempo y también que siempre fue más fuerte en la teoría que en la práctica. Cuando se enfrentaba con un problema concreto, los objetos a analizar (por ejemplo, las clases o las proposiciones) se convertían pronto y en su mayor parte en “ficciones lógicas”. Aunque quizá esto no signifique necesariamente (de acuerdo con el sentido en que Russell utilizaba este término) que estas cosas no existan, sino únicamente que no tenemos una percepción directa de ellas” 92.

La diferencia entre teoría y práctica que arriba se señala obedece a la conjunción de actitudes filosóficas distintas en Russell; y donde, en especial, el “factor paradojas” generaba un llamado de auxilio a la navaja de Occam. Gödel comparte con Russell la comparación que éste hace entre las matemáticas y una ciencia natural 93.

El sentido de la lógica del Russell de esta etapa (al igual que en Frege) no es sintáctico, sino semántico. En esta etapa la lógica apunta, si se quiere, a una cosmología 94. Como bien señala Largeault:

“...reprocha a la caracterización sintáctica el introducir una arbitrariedad y una libertad inadmisibles: no acepta los lenguajes lógicos o postulados variables de Carnap” 95.

La lógica posee entonces dos aspectos: por un lado, uno linguístico, y por el otro, uno ontológico 96. Lo que predomina aquí es el primero. De hecho, la crítica al formalismo pone de manifiesto ese “sentido de la realidad” que interviene en la descripción de su interpretación de la lógica y las matemáticas.

Apuntalamiento de un paradigma

El logicismo de Russell apuntala el paradigma “formalizante” pero (al igual que Frege) a medias. En Frege predomina siempre el reconocimiento de un mundo ideal, lo que determina un fuerte platonismo en su filosofía de las matemáticas. En Russell el  mundo ideal también es reconocido en un principio pero a la par de un fuerte sentido de la realidad, así como una inclinación nominalista en la resolución de los problemas teóricos específicos.

Con Russell terminó una nueva etapa en los intentos por brindar una fundamentación logicista a las matemáticas. Es posible afirmar después de los trabajos de Frege y Russell que el Logicismo fracasó. Pero no sólo debido a dificultades “técnicas” o de manipulación lógica, ni siquiera por un supuesto tratamiento  inadecuado de los sistemas formales usados. La raíz de los problemas se encuentra en la visión logicista del conocimiento matemático, en la conexión que se plantea de este y la realidad material, en los papeles epistemológicos asignados al sujeto y al  objeto en la construcción matemática. La raíz de los problemas se encuentra en el terreno filosófico.

El logicismo va a fracasar en dotar a las matemáticas de un fundamento último. Sin embargo, con ello no se destruiría el paradigma racionalista-axiomatizante de las matemáticas. Para Hilbert y el formalismo los problemas del logicismo podían ser  superados en una visión que afirmaba la posibilidad de la demostración de la consistencia en la aritmética, y que hacía de la “intuición del signo” su punto filosófico de partida. El fracaso del logicismo no fue visto antes de la década de los treinta realmente como un cuestionamiento profundo a los sistemas axiomatico-formales y al racionalismo. Serían necesarios los resultados de Gödel para apenas crear condiciones teóricas que permitieran debilitar el racionalismo en matemáticas, y abrir posibilidades para una reconstrucción teorética de la reflexión sobre las metemáticas. En el fracaso del logicismo, y después de los resultados gödelianos de los Treinta, tal vez pueda entonces leerse un fracaso de los intentos por brindar un fundamento absoluto a las matemáticas.