Capítulo III |
Nos vamos a permitir el uso de algunas ideas sobre las matemáticas históricamente pertinaces para hacer un recorrido transaccional sobre la percepción de estas disciplinas en Occidente. Una de ellas: la existencia de una "armonía preestablecida" entre las matemáticas y el mundo. ¿Existe realmente? De hecho, debemos empezar por reconocer que ésta ha tenido un papel importante en las visiones racionalistas de las matemáticas. En lo que sigue buscaremos obtener una respuesta a esa indagación dentro de nuestra imagen de las matemáticas, cuyos elementos principales iremos introduciendo de diversas maneras.
Ya en los orígenes de la ciencia griega, con los jónicos que pretendían una explicación naturalista de la realidad, los pitagóricos afirmaban la realidad de acuerdo a principios matemáticos, y también decían que los números y sus relaciones subyacen y muestran el orden [9] de la naturaleza. Es decir: matemáticas y realidad "de la mano". Poco tiempo después, Platón sostenía un mundo de objetos aprehendibles solamente por la razón e independiente de la mente individual: la realidad material era apariencia, inseguridad, cambio. Pero aún en Platón existía armonía: el mundo material estaba determinado (aunque imperfectamente) por esa realidad. [10] Una visión diferente ofrecía Aristóteles: los objetos matemáticos como "universales", entes presentes en muchos. Para él: las cosas materiales son la primera substancia de la realidad, y los "universales" están en las cosas. Para Aristóteles, entre las proposiciones matemáticas y la naturaleza hay correspondencia por ser éstas abstracciones de la naturaleza.
La historia siguió, solo que a grandes saltos: de la Edad Media la "armonía" griega salió convertida en la idea de que Dios creó la naturaleza; pero había un detalle significativo: ésta poseía un orden intrínseco matemático. Las matemáticas mostraban la creación divina. Los nuevos tiempos, la nueva filosofía y la cosmología empujaron entonces a otras posiciones pero sin abandonar totalmente el manto teológico: para Descartes, por ejemplo, las nociones de las matemáticas eran "innatas", intuitivas, pero colocadas por Dios en las mentes. El gran Leibniz, uno de los creadores del Cálculo en el siglo XVII, tampoco se separó de ese manto: las leyes de la matemática y la naturaleza poseen una armonía preestablecida por designio divino. Para éste el conocimiento era innato . Fue Kant quien ya avanzó en una posición tal vez más "moderna", pero apriorística; la verdad de las matemáticas no a través de la experiencia, sino por medio de una intuición espaciotemporal: el orden y la racionalidad que creemos externos están dados por lo interno, por el sujeto. La "armonía" no es aquí designio divino; se trata de una formulación subjetivista pero "humana". Aquí estamos en los fundamentos del racionalismo de la modernidad. Y encontramos armonía entre matemáticas y realidad.
Para la otra tradición epistemológica de la modernidad, el empirismo, las cosas son diferentes. Para una de sus variantes, el inductivismo en el siglo XIX (Mill), no hay realmente armonía preestablecida. Las verdades de las matemáticas son generalizaciones inductivas de la experiencia; eso explicaría su correspondencia con el mundo. Claro, ya para nosotros: este tipo de enfoque no explica la comprobada correspondencia entre teorías matemáticas (no simples generalizaciones) y el mundo; sabemos que las teorías se aplican o, incluso, se adelantan a la experiencia. Ya metidos en el siglo XX, se buscó entender la matemáticas de otra manera al racionalismo y al inductivismo: el empirismo lógico, por ejemplo. En una de sus variantes teóricas: las matemáticas no se refieren al mundo, su naturaleza es sintáctica y convencional . Aquí tampoco hay "armonía preestablecida", solamente "adecuación" de un lenguaje al conocimiento del mundo. En esta visión moderna las matemáticas no son capaces de producir auténtico conocimiento del mundo. Se trata algo así como una "semántica no referencial". A pesar de lo persuasivo y moderno de este enfoque, nos resulta difícil aceptar que éste permita explicar la naturaleza de la construcción matemática y, en particular, su aplicabilidad en el mundo de la experiencia. Volveremos a esto dentro de un marco de explicación mejor.
Desde finales del siglo pasado y durante las primeras décadas del presente, la reflexión sobre la naturaleza de las matemáticas tuvo un gran desarrollo. Varias tendencias emergieron entre los matemáticos y filósofos. Las principales son las que se identifican con los nombres: logicismo, intuicionismo y formalismo. La primera aproximación afirmaba que las matemáticas se podían reducir a la lógica. Sus figuras más representativas fueron Gottlob Frege [11] y Bertrand Russell (para Frege se reducía la aritmética, para Russell toda la matemática). Para Frege, existían dos tipos de procesos para justificar las matemáticas: los a priori, y los a posteriori. Los segundos estaban excluidos. Entre los primeros Frege encontraba dos opciones: la aritmética se deriva de la lógica (más algunas definiciones del vocabulario aritmético) o se funda en la intuición (como en Kant). En esa dicotomía él escogía la primera opción. Este gran pensador creía que las matemáticas poseían contenido: objetos abstractos, que no estaban en el espacio ni en el tiempo; es lo que se suele llamar con el nombre de platonismo en las matemáticas.
Otra aproximación teórica afirmaba, contrariamente a Frege, que las matemáticas no poseen contenido (ni abstracto ni mucho menos empírico): el formalismo . Algo así como que se trata de un juego formal sin un significado. Su preocupación era esencialmente demostrar la consistencia (ausencia de contradicción lógica) de las matemáticas a través de métodos precisos (finitos). El insigne matemático David Hilbert fue su máximo exponente. [12] En realidad, Hilbert planteaba la existencia de objetos precisos para las matemáticas; decía: "... en el principio (...) era el signo". Es decir: los signos podían ser considerados objetos de las matemáticas.
El tercer enfoque buscaba hacer las matemáticas de otra manera, con base en una intuición temporal (como en Kant pero sin la intuición espacial de aquel), para lo que se veían obligados a rechazar varias partes [13] de las matemáticas clásicas (porque las demostraciones que aceptaban únicamente los intuicionistas no asumían el infinito actual ni la ley lógica del tercero excluido de manera arbitraria [14]). Insistieron en la idea de crear matemáticas constructivistas, con métodos finitistas. Con antecedentes en Kant y el matemático Kronecker, su figura principal fue el matemático holandés L. E. J. Brouwer [15], aunque A. Heyting [16], tiempo después, jugó un papel importante en este enfoque. El gran matemático Poincaré también se asocia a este tipo de posiciones. Muchas veces se usa el término constructivismo para referirse a estos intentos fundacionales en busca de reconstruir las matemáticas sin contradicciones. Esta aclaración es importante porque más adelante vamos a usar este término con un sentido distinto, más propio de las discusiones en la Educación Matemática.
La preocupación común a estas tres aproximaciones teóricas era buscar una fundamentación de las matemáticas que las librara de las contradicciones y paradojas que se habían filtrado desde el siglo anterior: hacer matemática segura, infalible. Detengámonos en esto un poco.
Desde la misma creación del Cálculo diferencial e integral en el siglo XVII por Newton y Leibniz se apreció la existencia de “imprecisiones” (una famosa referencia: el obispo Berkeley atacó la metafísica que encontraba en los nuevos métodos de Newton) e, incluso, contradicciones en los conceptos básicos de la nueva disciplina matemática (la cual constituía el principal logro de las matemáticas modernas, el corazón de su práctica en los siglos XVIII y buen parte del XIX). La derivada, la integral, o la continuidad, exhibían problemas de rigor y consistencia lógica (por ejemplo, series infinitas divergentes que se asumían convergentes, uso de infinitesimales [17]: famosos entes matemáticos que eran menores que cualquier número pero diferentes de 0, etc.) Sin embargo, a pesar de eso las matemáticas crecían como nunca, en un siglo que se suele llamar el "heroico", bajo la mano de insignes matemáticos. Baste mencionar al suizo Euler (padre del análisis matemático: colección de los métodos infinitos en las matemáticas), los Bernoulli (famosa familia de matemáticos también suizos), y una colección impresionante de matemáticos franceses: Clairaut, D'Alembert, Maupertuis, Lagrange, Laplace, Legendre, Condorcet, Carnot. Las preocupaciones por el rigor no podían tener un significado tan grande mientras se tuviera tanto éxito en el desarrollo de las nuevas matemáticas y, muy especialmente, de su aplicación en la física. Aún así, desde el mismo siglo XVIII, empezaron los intentos por solventar las debilidades: todo se concentró en el concepto de límite, hoy común a cualquier texto de Cálculo. Podemos decir que la primera figura que abrió el camino para la reformulación digamos moderna de la idea del "paso al límite" fue D'Alembert, al que le siguieron importantes trabajos de replanteamiento conceptual y rigorización lógica: Bolzano, Abel, Cauchy, Weierstrass, Dedekind que llegan hasta Cantor. [18] Estos trabajos establecieron la pauta, características y sentidos del análisis matemático y su enseñanza hasta nuestros días. [19]
Otros asuntos empujaron más hacia la lógica. Por un lado las geometrías no euclidianas y, por el otro, los cuaterniones de Hamilton. En el primer caso porque rompían con la geometría euclidiana: columna vital de la interpretación del mundo. Se rompía un esquema mental que había resistido incluso la revolución de Copérnico y Galileo en la cosmología. Si eran válidas geometrías que no parecían tener referentes en el mundo, ¿en qué se podían refugiar los matemáticos? Piénsese su impacto en una época cuando las matemáticas eran consideradas la clave de la descripción, manipulación y predicción para nuestra relación con el mundo: matemáticas y mundo en perfecta armonía. Kant había hecho de la intuición del espacio una de sus piezas de explicación de las matemáticas, ¿en qué posición quedaban estas ideas? El rigor lógico aparecía como un reclamo, y también un refugio. Los cuaterniones constituían otro problema: entes matemáticos que no cumplían la ley de la conmutatividad. Las leyes de operación usuales, las "normales", ya no eran únicas. No es que estos asuntos fueran la preocupación principal dentro de la comunidad matemática, lo que a veces se entiende mal, pero sí ocupaban un papel importante.
Pues bien, Frege se colocó en esta tradición: mientras el grueso de matemáticos buscaba fundamentar el análisis y la geometría, él decidió asumir la tarea de fundamentar la aritmética. Para Frege, la tarea central de la reflexión sobre las matemáticas se concentraba en ese objetivo (en general: la fundamentación de las matemáticas ). [20] La realidad es que desde entonces el grueso de la filosofía de las matemáticas buscó responder a esa meta. Para ello y de acuerdo a diversas inclinaciones filosóficas previas es que se han desarrollado esos programas específicos muy técnicos (incluso hasta nuestros días). Tanto logicistas, formalistas como intuicionistas, a pesar de sus diferencias, buscaban responder al propósito original de Frege. En cada caso, se trataba de una combinación sutil de filosofías en el sentido general de este término y de mucho contenido logicomatemático . Por ejemplo, fueron preocupaciones fundacionales de este tipo, en el logicismo, las que motivaron Principia Mathematica, la conocida y monumental obra de Bertrand Russell y Alfred North Whitehead.
Debe mencionarse que el programa preciso de Frege usaba la teoría de conjuntos como uno de sus principales recursos para reducir las matemáticas a la lógica. La obra que debía condensar sus propósitos fundacionales se llamó Grundgesetze der Arithmetik [21] (publicada en dos tomos en 1893 y 1903 respectivamente). En 1902, antes de salir el segundo volumen, Russell descubrió que en el gran edificio de Frege se podían encontrar paradojas. Estas estaban precisamente en los conjuntos. Se trataba de un golpe fuerte a la pretensión fundacional; no era tan fácil librar las matemáticas de la incertidumbre y la contradicción. Russell inició un segundo momento en el programa logicista al tratar de responder a las paradojas a las que contribuyó a descubrir.
No solo en las tiendas del logicismo se vivieron estas decepciones: el formalismo y en general todos los que pretendían asegurar un fundamento a priori para las matemáticas sufrieron una situación similar poco tiempo después. Hilbert había pretendido la formalización [22] de la matemática clásica ( alguna gente creyó, incluso, que la naturaleza última de las matemáticas podían ser los sistemas formales ) y demostrar la consistencia de los sistemas formales que creaba (la versión más madura de su proyecto la condensó en 1926 [23] ). Gödel, un famoso lógico austríaco, descubrió en los años treinta que aquellas pretensiones no podían llevarse a cabo, incluso cuando la parte de las matemáticas en consideración era la aritmética de primer orden. D emostró, entonces, que no era posible asegurar la consistencia de una teoría matemática (suficientemente amplia para contener la teoría de números). [24] Puesto de la manera más general, estos resultados golpeaban el planteamiento original de proporcionar una fundamentación a priori a las matemáticas. Tal vez, podríamos decir que para las matemáticas la demostración deductiva y la validez lógica encuentran fronteras definidas. O lo que expresa lo mismo: las matemáticas no se pueden reducir a la lógica. Hay un llamado al mundo de lo empírico, de la experiencia. Esto no se debe olvidar.
Algunos autores asocian todas estas pretensiones con el conveniente término absolutismo . Veamos esto con más detalle. La visión absolutista en las matemáticas afirma que éstas están constituidas de verdades ciertas e incuestionables: absolutas. El conocimiento matemático sería entonces el campo único de conocimiento cierto (además de la lógica y las proposiciones verdaderas en virtud del significado de sus términos, como por ejemplo "todos los casados no son solteros"). Son los métodos deductivos los que permiten garantizar la verdad de las proposiciones matemáticas. Para la visión absolutista las matemáticas están libres de error: sus verdades son infalibles. Entonces, con este nuevo lenguaje: los problemas con las paradojas de la teoría de conjuntos, o los del formalismo con los resultados de Gödel, podemos decir que constituyen dificultades para las pretensiones del absolutismo en las matemáticas.
La visión de Frege que se negaba a fundamentar las matemáticas en la intuición, su rechazo del empirismo en éstas, y su idea que las proposiciones de las matemáticas no poseen significado, fue asumida como suya -más o menos- por uno de los grupos más influyentes en la filosofía del siglo XX: el neopositivismo. En etapas diferentes, fueron ellos que concibieron el cuerpo de las matemáticas y la lógica como aquel que elabora las convenciones que subyacen el lenguaje; la verdad de sus proposiciones se encuentra gracias al significado de sus términos. Este fue en esencia el enfoque de Carnap (1939), Ayer (1936) y Hempel (1945). A ellos nos referíamos al principio de esta sección. El marco general de estas ideas es entonces el del absolutismo en la matemáticas.
Debemos aclarar, sin embargo, que estos autores no asumían algunas de las ideas de Frege en torno a la lógica: para Frege, los principios de la lógica eran vistos como fundamentales para todo pensamiento, para los neopositivistas la lógica era verdadera por convención. Además, Frege siempre afirmó que la matemática se refería a objetos, aunque peculiares. [25]
Sobre estos asuntos giraría mucho del microcosmos de la filosofía de las matemáticas durante este siglo. De hecho, normalmente muy alejada de la práctica efectiva de los matemáticos y los científicos; y sin relación con asuntos del tipo ¿qué es y cómo progresa el conocimiento matemático?, ¿qué hace que unas teorías matemáticas sean mejores que otras?, ¿cuál es el sentido de las explicaciones matemáticas? Más alejada todavía de temas como ¿cuál es la naturaleza social de los procesos de validación matemática?, y ¿cuál el fundamento social y psicológico de la construcción matemática?
Los problemas del absolutismo o el racionalismo en las matemáticas, arrancan sin embargo desde su mismo punto de partida. La validez de las matemáticas depende de un conjunto de supuestos que se aceptan sin demostración: axiomas o como se les quiera llamar. Eso quiere decir que en la base existen supuestos, premisas, que son a lo sumo creencias, no conocimiento; por lo tanto, expuestos siempre a la duda y al cuestionamiento. No hay certeza absoluta posible. Una de las principales conclusiones a partir de los intentos fundacionales mencionados antes es que, para garantizar la consistencia de un sistema matemático, habría que acudir siempre a otro más poderoso. Entonces, en todas partes encontramos círculos viciosos: o puntos de partida no demostrables o la necesidad de afirmaciones o proposiciones adicionales para la demostración de consistencia; es decir: una expansión sin fin. En nuestra opinión: la crítica del absolutismo constituye la principal fuente de la reflexión contemporánea sobre las matemáticas.
Una nueva visión de las matemáticas que sustituya los anteriores paradigmas cuestionados no existe todavía de manera dominante. Podría decirse que el primero [26] en introducir una visión crítica del paradigma de las matemáticas como verdades infalibles (con una estructuración axiomáticodeductiva) fue Lakatos en los años Sesenta (4 artículos publicados entre 1963 y 1964, y luego recogidos en una publicación en 1976). [27] Frente a lo que el llamó un modelo "euclídeo" de entender las matemáticas, "infalible", ofreció una visión crítica falibilista de éstas. Su visión se suele asociar con el vocablo cuasiempirismo . Para Lakatos las matemáticas son un resultado de una práctica social e histórica. Establece una distinción entre lo que es esa práctica individual y subjetiva (cómo construye matemáticas el matemático) y el cuerpo teórico (el resultado final producido, lo que se podría llamar objetivo ) que se valida en una comunidad matemática. La exposición y comunicación de los resultados al gremio matemático y su validación dependen entonces de reglas aceptadas histórica y socialmente. Su preocupación central se separa de las de los intentos absolutistas, los asuntos son otros: ¿cómo se hace la práctica matemática: su dimensión subjetiva pero sobre todo la objetiva y la interrelación entre ellas?
Desde entonces se han producido trabajos en esa dirección como los de Davis y Hersh [28], Kitcher [29] y Kline; y es, precisamente, el marco teórico de partida en el que encuentra sustento nuestro análisis. Este llamado a una nueva visión no podría entenderse al margen de la contribución del nuevo "externalismo" en la disciplina de la historia de la ciencia, que fomenta una contextualización social y gremial de la evolución de la ciencia con Kuhn, Feyerabend, Toulmin, Lakatos, Laudan y otros. La asunción de una visión falibilista de las matemáticas tiene varias implicaciones. El filósofo y educador británico Paul Ernest [30] resume el asunto así:
"El establecimiento del conocimiento matemático como falible y cuasiempírico significa que las matemáticas no están herméticamente selladas y separadas de otras áreas del conocimiento, las actividades y los valores humanos. Esto significa que en las matemáticas al igual que en las ciencias y otras áreas del conocimiento humano el contexto de descubrimiento y de justificación se penetran mútuamente. Consecuentemente, no se les puede negar a los asuntos sociales, culturales y éticos un impacto sobre las matemáticas y el conocimiento matemático y debe admitirse con un rol esencial y constitutivo en la naturaleza del conocimiento matemático". [31]
Pero no nos interesa aquí abundar en el recuento histórico de las ideas sobre las matemáticas, nuestro objetivo es "entrarle al toro por los cuernos" y dirigir nuestra atención directamente a ¿qué son las matemáticas? En esa dirección, vamos a servirnos de los planteamientos de un historiador de las matemáticas: Morris Kline, y, especialmente, un epistemólogo y psicólogo: Jean Piaget.
La interpretación de Piaget es muy original: las estructuras matemáticas coinciden con la realidad porque éstas son las estructuras más generales de la organización de lo real viviente . Sus consideraciones conducen a la biología. Sí hay correspondencia entre matemáticas y realidad, y es completa, [32] las matemáticas deben ser entonces "verdaderas". [33] Sin duda, se da aquí una reformulación del concepto de verdad. Pero sigamos. Para Piaget, esta correspondencia no se da por medio de un proceso de abstracción del objeto: el acuerdo se da a partir de que el sujeto es un ser biológico con condiciones y funciones de autoregulación, autoorganización. Es un caso de un acuerdo más general: el acuerdo entre todo ser vivo y su medio biológico. Dice Piaget: "la organización no es réplica del medio" en el que está el sujeto; y "no hay funcionamiento organizador sin un acuerdo con el medio". Se trata por supuesto de una hipótesis biológica. [34] Aunque su lógica biológica es muy persuasiva, hay algo que no nos termina de cuadrar: la ausencia del carácter aproximado de las teorías de todas las ciencias naturales y de las matemáticas. Y en esto lo que Piaget parece subestimar es el papel del objeto en la construcción matemática de la realidad. Nosotros preferimos una visión más amplia: que además de factores biológicos, introduzca los sociales y físicos. La vinculación entre matemáticas y realidad para Piaget se da a partir de hipótesis generales, y lo que podemos caracterizar, tal vez, como un "apriorismo" biológico. Reiteramos nuestra opinión: su debilidad reside en una relativización muy drástica del objeto socialfísico; es un obstáculo en esta visión teórica. Todo esto va a ser muy importante cuando retomemos el análisis de las tendencias modernas en la educación matemática. Por ejemplo, el caso de las famosas etapas de la evolución psicogenética, una visión ampliamente conocida y usada en psicología y educación en nuestro medio. Para Piaget, estas etapas que se definen sobre la base de estructuras cognoscitivas precisas (de las preoperatorias, operatorías concretas hasta las precisamente formales ), dependen esencialmente del sujeto: el objeto casi no participa. Para nosotros, los factores sociales y del mundo físico externo al sujeto influencian la evolución tanto de esas etapas psicogenéticas como, también, las del conocimiento y la cultura: las llamadas sociogenéticas .
¿Son las matemáticas una ciencia natural más? Esto es decisivo: su objeto "particular" las convierte en instrumentos esenciales de la explicación del mundo. Para nosotros, y a diferencia de los apriorismos diversos, las matemáticas no son colocadas meramente por el sujeto en el conocimiento empírico, no se pueden reducir a un factor operativo y organizacional de lo fáctico, donde esto último es un agente pasivo. Para nosotros, el conocimiento físico no es la fusión de lo formal (puesto por el sujeto), y lo empírico (con el simple destino de ser asimilado a los esquemas del sujeto) el contenido. [35] Debemos ser explícitos en esto: por supuesto que no negamos el papel activo del sujeto, ni tampoco rechazamos una subjetivización del objeto. Más lejos aún: compartimos con Piaget la idea de la asimilación de la percepción a las condiciones del sujeto. Pero, esta es la diferencia: para nosotros, la posibilidad de ello nace en las condiciones propias del objeto (independientemente de nosotros). Las matemáticas no son puestas por un sujeto en sí, son un producto combinado de agentes que debe ser sancionado con el criterio último de la experiencia. Eso, si se quiere, convierte nuestra epistemología en empirista (aunque solo en un sentido deliberadamente general). Y responde la pregunta: las matemáticas sí son una ciencia natural. Esta es una definición de partida.
Mill y Kline coinciden en que una de las ventajas de las proposiciones de la matemática ha sido su utilidad durante siglos. [36] Podría sugerirse la palabra: aplicabilidad. Y detrás de esa valoración se expresa algo así como que esa utilidad manifiesta su naturaleza. Nuestra posición es un poco más extrema: existen condiciones de raíz para "lo especial" en las matemáticas. Incluso: su objeto particular es lo que nos debe explicar la "longevidad" de sus resultados, no la historia o la cultura sin más. Es, también, su objeto particular el que nos explica la utilización para validar las matemáticas de otros criterios auxiliares, indirectos, antes de recurrir al inevitable de la sanción práctica. [37] En las matemáticas es necesario subrayar la validez lógica como un criterio efectivo: interviene en la construcción y la validación de las matemáticas. ¿Por qué es esto útil y correcto? ¿Qué hace que las matemáticas se nutran con objetos y métodos distintos a la sanción empírica?
Las matemáticas son conocimiento de "lo general" (una manera de hablar) en el mundo que, como todo conocimiento, surge en una relación entre el sujeto y el objeto (ella misma un factor real). Ahora bien, cuando introducimos el vocablo "lo general" para las matemáticas no pensamos en "universales" (como Aristóteles) que existen en la realidad; para nosotros, se trata de percepciones humanas sobre el mundo: los conceptos de número 2, de 3 o de 526, nacen de condiciones de la realidad. Los substratos materiales para estos conceptos (abstracciones) son objetos empíricos de las matemáticas. Lo mismo sucede con las nociones de plano, recta, y punto. Evidentemente, no encontramos puntos, planos, rectas y números bailando en el mundo empírico (son conceptos), pero es fácil comprender que éstos poseen referentes en la realidad material. Podría sugerirse que propiedades generales del mundo como la diversidad o la extensión son fundamento de partes de las matemáticas; también podría sugerirse la continuidad física. En todo esto no se debe olvidar que la creación de conceptos e, incluso, la percepción de objetos empíricos que sustentan estos conceptos, depende mucho de nosotros: nuestro ojo, nuestra mente, condiciona lo que vemos. Es decir: vemos y conocemos lo que nuestra realidad nos permite. En esta condición, en lo que somos, participan factores biológicos y físicos pero también sociales (culturales e históricos). Esto es importante: lo que vemos es en buena parte nuestra realidad y sus fronteras. Vemos diversidad, pero se podría decir que todo lo que existe es una sola cosa (recuérdese aquella tensión en la Grecia Antigua entre unidad y diversidad: Parménides y Heráclito). Vemos continuidad en la materia, pero los espacios inter y subatómicos nos señalan lo contrario. Lo que vemos y los conceptos con los que comprendemos el mundo dependen de lo que somos y de los límites de nuestro sentidos en particular; por eso, con la creación de instrumentos técnicos superiores, varía nuestra percepción de lo que existe. El cielo estrellado de Aristóteles y Ptolomeo no podía ser el mismo que el de Galileo con su telescopio: el "tamaño" y la cantidad sí importan.
En la comprensión de los objetos empíricos de las matemáticas debe pensarse también en el sujeto: por ejemplo, nuestra capacidad de repetir acciones (en el tiempo) refiere también a la diversidad y a la continuidad. El número, otro ejemplo, no debe verse solamente como algo que encontramos en el objeto físico al margen de nosotros; también lo encontramos al repetir y organizar nosotros acciones. El contar no refiere solo al mundo externo, también al interno: a nosotros. De igual manera, el medir no refiere solo a un mundo "medible" sino, también, a nuestra acción. La conclusión: algunas de nuestras acciones son también substrato material de conceptos matemáticos. Acciones físicas humanas de repetir, agrupar, asociar, revertir, son objetos de las matemáticas, y con las mentales que las "replican" en nuestros cerebros sucede lo mismo. En esto tenía razón Piaget, al colocar un sustrato para las matemáticas en las operaciones y acciones del sujeto. Ahora bien, nos repetimos para que no haya duda alguna: estas acciones no son ajenas a la realidad física externa al sujeto; las cosas "se agrupan", los procesos físicos se "repiten" o se "devuelven", ellos mismos, sin nosotros.
¿Por qué podemos realizar estas acciones y operaciones mentales y éstas se conectan tan bien con el mundo? Por lo menos debido a 2 tipos de razones: porque nuestro ADN nos ha preparado para ello en millones de años de evolución a través del contacto con el mundo (apuntaba bien Piaget: una base biológica); y, en segundo lugar, porque vemos y actuamos directamente sobre la realidad física: el mundo exterior a nosotros nos condiciona permanentemente . Tiene razón Piaget al colocar en relieve el papel del sujeto. Nuestro conocimiento del mundo, tanto individual como colectivamente, es un factor muy dinámico. En la comprensión y manipulación activas de ese mundo construimos nuestro conocimiento.
Pero volvamos al objeto de las matemáticas: combinación de entes extraídos del mundo exterior al sujeto pero, también, de sus acciones y operaciones. Las matemáticas se construyen aquí: acciones sobre nociones extraídas de la realidad o acciones humanas, sobre ellas mismas o sobre otras acciones y operaciones. Acciones sobre acciones: un territorio fértil para la abstracción matemática.
Con el correr de la historia humana, las matemáticas de las abstracciones, acciones y operaciones sobre ellas mismas, llegaron a ocupar su corazón: conjuntos de construcciones mentales cada vez más alejadas de lo intuitivo y empírico. Tanto que, hoy en día, a veces, nos da la impresión que nunca tuvieron contacto con ese mundo. En ese laberinto complejo de acciones y operaciones sobre acciones y operaciones u otros nuevos conceptos extraídos del mundo empírico, la lógica ocupa un lugar privilegiado. La historia de las matemáticas es, entonces, y de manera drástica, dual: no solo se refiere como en otras ciencias naturales especialmente a las situaciones socioculturales e individuales que crearon conceptos o explicaciones de un objeto físico; sino también, de manera privilegiada, a aquellas situaciones que crearon conceptos y explicaciones de otros conceptos y explicaciones: edificios que si bien empíricos en sus cimientos, en la argamasa de todo, así como en los constructores y albañiles, se elevan cada vez más "hacia el cielo". A pesar de esta elevación, por sus fundamentos empíricos (en sus nociones, métodos y artífices), se hace posible su aplicación en el mundo. En particular, nos parece que debe enfatizarse que las teorías matemáticas son aplicables en la realidad humana porque en sus edificios conceptuales las reglas de construcción no son cualesquiera (la poesía y la pintura no son matemáticas, aunque pueda que éstas sí sean poesía y pintura para el espíritu); las matemáticas refieren a operaciones y acciones precisas que se pueden asociar a manipulaciones de la realidad material o social. Tal vez el término de lógica no sea el más adecuado para referirnos al marco más general para encerrar el fundamento de estos quehaceres abstractos de las matemáticas pero, si se nos permite la imprecisión: asociamos ese término con procesos de validación de las construcciones matemáticas.
Los métodos usados por los matemáticos para validar sus construcciones teóricas no son cualesquiera. Es decir, se trata de edificios conceptuales rigurosamente pegados, con colecciones de resultados integrados por principios de deducción aceptada. Estos métodos de organización de los entes y resultados matemáticos corresponden de manera abstracta al mundo. Son formas de organización de lo real no solo originadas en (puestas por) el sujeto (como Piaget) sino, también, en el objeto mismo: formas de organización de la naturaleza, que tomamos y comprendemos en esa relación compleja entre nosotros los humanos y nuestro entorno. Esto asociado a que las nociones básicas del edificio matemático son abstraídas del contacto con el mundo, constituye una base para valorar especialmente los mecanismos de validación establecidos colectiva e históricamente por los matemáticos. Los criterios de validación de las teorías matemáticas son construcciones históricas, por lo tanto variables en el tiempo, sujetos a cambios, errores y defectos. Su progreso, sin embargo, ha sido constatable, y hoy ofrece principios muy sólidos de rigor y pertinencia que permiten asegurar resultados teóricos "confiables" aunque, evidentemente, dentro de las fronteras establecidas por el estatus epistemológico de las matemáticas. Todo esto presupone que no cualquier cosa es matemática, que no toda abstracción o construcción mental hecha por los humanos es matemática y puede, en consecuencia, corresponder, de la manera que hemos sugerido aquí, a la realidad.
Hagamos una acotación adicional en torno a este asunto: los criterios de validez lógica y coherencia deductiva en las matemáticas son extraordinariamente valiosos. Esto es un punto de partida. No obstante, como hemos visto aquí, se debe tener cuidado. Además, tampoco sugerimos que el quehacer abstracto de las matemáticas se reduce a la deducción lógica. Que se use la deducción lógica en la práctica matemática y, específicamente, que el rigor lógico sea un requisito en la comunicación de resultados entre los matemáticos , no quiere decir que las matemáticas sean reducibles a la deducción lógica. La larga experiencia del logicismo y los otros proyectos fundacionales nos confirman esta conclusión. Hemos insistido a lo largo de este trabajo en señalar como motor de las matemáticas una práctica de acciones y operaciones mentales sobre otros conjuntos de objetos, acciones y operaciones, en un doble influjo primigenio: epistemológicamente, el mundo empírico y el sujeto.
Al asumir una visión que hace de las matemáticas ciencias naturales, debemos ser coherentes y categóricos: si la matemática posee un contenido referido a la realidad material, la confrontación práctica empírica con ella es inevitable. [38] El criterio empírico debe reformularse para las matemáticas, pero no puede desaparecer. Si lo que se quiere es establecer el valor de verdad de las teorías matemáticas, en última instancia tanto las teorías altamente formalizadas como las informales deben asociarse con la realidad empírica, de una u otra forma. Aquí encontramos un factor dinámico de su desarrollo, así como las posibilidades para su valoración teórica. Es muy probable que las visiones racionalistas de las matemáticas hayan obstaculizado estas condiciones y eso haya pesado, precisamente, en el atraso teórico de resultados matemáticos vinculados más directamente al mundo. [39]
En otro orden de cosas: en la práctica matemática sólo podemos aspirar a evidenciar una "correspondencia" de sus teorías con el mundo, pero no demostrar su "no correspondencia". Esto es otra característica específica. Al igual que no se podían rechazar, en un primer momento, las geometrías no euclidianas por no obedecer a una "intuición" tradicional del espacio, todas las estructuras y teorías matemáticas pueden eventualmente "corresponder" al devenir real. Esta situación subraya el sentido de los factores históricos y sociales.
El criterio de la "correspondencia" de las teorías matemáticas con la realidad es lo que hemos estudiado en las páginas anteriores. Hemos obtenido algunas conclusiones de partida que, globalmente, apuntan a pedir la sanción empírica para las matemáticas. También hemos señalado la existencia de una diferencia cualitativa en cuanto al objeto de estudio, y a sus métodos. Ahora bien, nadie desconoce que el criterio de la correspondencia de una teoría científica con la realidad empírica si bien apropiado es extraordinariamente general; y en lo que se refiere a las matemáticas más bien resulta difícil de aplicar o, lo que es simétrico y complementario, su aplicación no revela mucho de la riqueza de sus teorías ni tampoco de la pertinencia de sus métodos de validación (por ejemplo, el peso de la validez lógica). El asunto de encontrar criterios de demarcación [40] de lo que es o no ciencia debería resolverse de una forma que permita incluir a las matemáticas; es decir, afirmar su estatus de ciencia. No se trata, sin embargo, de una discusión sancionada definitivamente en la comunidad intelectual.
Las matemáticas como abstracciones, acciones y operaciones (precisas) sobre el mundo o sobre sí mismas, en donde esto último es determinante, permite un abanico de posibilidades para otros cuerpos del conocimiento. Nuestro punto de vista explica también la relación entre las matemáticas y las otras ciencias; una forma de decirlo: los aspectos "generales" están presentes en lo particular. Lo "general" es constitutivo de lo particular en el objeto natural. Esto explica en parte la "intervención matemática" en el conocimiento. Y no deja de resultar importante al considerar la relevancia de las matemáticas en el desarrollo científico y tecnológico: invertir en matemáticas también significa invertir indirectamente en otras dimensiones del conocimiento.
Para Kline es apasionante el acuerdo entre una disciplina cargada de múltiples deducciones abstractas y el mundo; resulta incluso paradójico. [41] Charles Sanders Peirce decía que es "inexplicable". El asunto del acuerdo de las matemáticas con el mundo no es sencillo, refiere a la naturaleza de las matemáticas; invoca consideraciones, tal vez, sobre toda la teoría del conocimiento. Por eso, no debe sorprendernos descubrir que en las principales disquisiciones, distinciones y divisiones de la epistemología moderna las matemáticas hayan ocupado tanta relevancia. Las reflexiones sobre la armonía preestablecida entre matemáticas y naturaleza han despertado la imaginación de los intelectuales. Pensadores de la talla de Einstein [42] y el mismo Hermann Weyl [43] coquetearon con la "armonía" a priori. Como hemos visto, para nosotros: la armonía existe, pero no en el alcance ni de la manera en que usualmente se afirma. No podemos dejar nuestra opinión de lado: en todo conocimiento del mundo su verdad será siempre aproximación y relatividad, incluso -como diría tajantemente Laplace- solo probabilidad.
Resumimos: las matemáticas obtienen sus nociones elementales del mundo físico que siempre interviene y las operaciones o acciones que el sujeto realiza a partir de aquellas también corresponden al mundo. Las abstracciones originales, las abstracciones " reflexivas" (que son las que señala Piaget), y todos los diferentes tipos de abstracciones (siempre más o menos subjetivas) están vinculados a la realidad. En la gestación, desarrollo y utilización de los métodos de las matemáticas el sujeto nunca deja de recibir la influencia directa del objeto. Nuestra propia naturaleza posee características generales biológicas o físicas que corresponden al resto del universo. Seguimos nuestro resumen: los resultados matemáticos no son simples generalizaciones inductivas ni tampoco son réplicas mentales impresas por el objeto en un sujeto pasivo; varios factores siempre interactúan. La aplicabilidad o la armonía de las matemáticas con el mundo no se puede explicar con énfasis unilaterales colocados ya sea en el papel del sujeto o en el del objeto. Para nosotros: en algún lugar de la relación entre ambos es que se encuentra la mejor explicación.
No se agota aquí el asunto. Esta es una veta rica para muchas más especulaciones profundas sobre el conocimiento del mundo. Pero creemos que con estas últimas líneas ya hemos expresado una parte de nuestra percepción más general sobre las matemáticas. Ahora nos parece apropiado avanzar en una precisión que responda a la pregunta: ¿cuál es el lugar de lo abstracto y lo empírico en la construcción matemática? Y, seguidamente, proceder a una primera recapitulación de las ideas para completar nuestra imagen global de las matemáticas, antes de regresar a la Educación Matemática.